Metodologia

A tensão é calculada com a fórmula padrão de tensão de cordas usada em toda a luteria e na fabricação de cordas:

T = UW × (2 × L × F)² / 386.4

Onde T é a tensão em libras, UW é a massa por unidade de comprimento da corda em libras por polegada linear, L é o comprimento de escala em polegadas, F é a nota alvo em Hz, e 386.4 é a aceleração gravitacional padrão (in/s²), que converte a massa por unidade de comprimento da corda (uma força) no termo de massa que a física por trás disso precisa.

Essa não é uma fórmula arbitrária da indústria. Ela vem direto da física padrão de uma corda vibrante. A frequência fundamental de uma corda sob tensão é f = 1/(2L) × √(T/μ), onde μ é a massa por unidade de comprimento (a base das leis de Mersenne). Isolando T, com μ = UW/g, chega-se exatamente na fórmula acima. Confirmamos isso de duas formas antes de escrever qualquer código: contra a documentação técnica publicada pela D'Addario, e de forma independente a partir dessa dedução por primeiros princípios. (Um pequeno número de referências arredonda a constante gravitacional para 386.09 em vez de 386.4; a diferença é menor que 0.1% e irrelevante na precisão de bitola de corda.)

A massa por unidade de comprimento é a parte com mais chance de estar errada se for chutada, e depende tanto da bitola quanto da construção: não é uma função simples do diâmetro para cordas encapadas. Usamos três abordagens diferentes dependendo do que dá pra saber de verdade, e somos claros sobre qual é qual:

Cordas lisas, de nylon e de fluorcarbono: física exata. Uma corda lisa é um cilindro sólido, então a massa por unidade de comprimento dela é só densidade × π/4 × diâmetro². Usamos densidades de material publicadas (aço de corda ≈ 0.2836 lb/in³, confirmado com duas referências independentes de densidade de aço; nylon ≈ 1.15 g/cm³ e fluorcarbono (PVDF) ≈ 1.78 g/cm³, ambos valores de referência padrão de materiais). É exatamente assim que os fabricantes calculam a massa por unidade de comprimento das cordas lisas, e é totalmente reproduzível.

Cordas encapadas em bronze fosforado: uma tabela real e publicada. Para o bronze fosforado, temos uma tabela de dados real de fabricante: 28 bitolas (0.020"–0.070") republicadas por uma referência técnica de luteria de terceiros, que diz que os números foram convertidos a partir das especificações de massa por unidade de comprimento do próprio catálogo da D'Addario. Usamos essa tabela diretamente, com interpolação linear entre as bitolas publicadas, e não um modelo.

Encapada em níquel, níquel puro, bronze 80/20 e aço inoxidável: um modelo físico calibrado. Não conseguimos uma tabela direta de fabricante para essas construções (o PDF do fabricante que achamos não está mais disponível, e os espelhos estavam bloqueados). Em vez disso, modelamos uma corda encapada como um núcleo de aço mais uma camada enrolada em hélice, onde a densidade efetiva do encapamento inclui um fator geométrico de empacotamento (π/4, a estimativa padrão para uma única camada de fio redondo enrolado em contato). A proporção núcleo-total em cada bitola não é assumida: ela é calculada a partir de uma tabela real e publicada de tensão da D'Addario (o set elétrico encapado em níquel EXL110 10-46), o que dá pra resolver diretamente porque o fio de encapamento em níquel é aço banhado a níquel (o banho tem espessura de mícrons, com massa desprezível), o que faz a densidade dele ficar praticamente igual à do núcleo. Essa curva é reaproveitada para os outros três materiais de encapamento, escalada pela densidade específica de cada material. Isso é uma estimativa declarada, não dado tabelado. Veja os números de validação abaixo para ver o quão bem isso funciona, inclusive bem fora da faixa de calibração (bitolas de baixo).

Antes de escrever qualquer interface, validamos o módulo de cálculo contra tabelas de tensão reais e publicadas pela D'Addario, rodado como um conjunto de testes automatizados que roda de novo a cada mudança na fórmula, nos dados de massa por unidade de comprimento ou na lógica de cálculo:

• EXL110, set elétrico encapado em níquel 10-46, afinação padrão, escala de 25.5": todas as cordas dentro de 2% da tabela publicada.
• EJ16, set acústico de bronze fosforado 12-53, afinação padrão, escala de 25.5": todas as cordas dentro de 1%.
• EXL170, set de baixo encapado em níquel 45-65-80-100, afinação padrão, escala de 34": dentro de 8%, extrapolado bem além da faixa de calibração do modelo de 0.026"–0.046".

As previsões de cordas lisas acima não têm nenhum parâmetro livre (física pura, sem calibração), e mesmo assim ficaram dentro de 1% dos números publicados pela D'Addario, o que também confirma de forma cruzada as suposições de escala de 25.5"/34" usadas nas tabelas de tensão genéricas deles.

A tensão de cada corda é comparada com a tensão mediana do set inteiro, e é sinalizada se desviar mais de 35%. Deliberadamente não comparamos uma corda com as vizinhas físicas dela: afinações reentrantes (o sol-dó-mi-lá padrão do ukulele, onde a corda sol é afinada mais aguda que a corda dó) não são monotônicas em altura ao longo da ordem das cordas, então uma checagem de suavidade entre vizinhas sinalizaria toda corda de um set perfeitamente normal. A checagem baseada em mediana é independente da ordem e só sinaliza casos realmente fora do padrão, como uma bitola que não combina com a afinação dela.